السلام عليكم جميعا
سأقوم بوضع طرق مختصرة للحساب الذهني كل يوم موضوع.
رجائي لمن عنده فكرة أن يضعها هنا 0
و تمني أيضا على كل من ينتفع بهذه الطرق و ينفع بها الآخرين أن يدعوا لي بالخير .
سأبدأ بطريقة تربيع الأعداد من خانتين و المنتهية بـ : 5
مثلا : 35 × 35
خذ العدد الذي على يسار الـ:5 (و هو 3 في هذا المثال) و زده 1 :
3 + 1 = 4
الآن اضربه بالناتج : 3 × 4 = 12
ضع 25 على يمين الـ: 12 فيصبح المطلوب : 1225
مثال آخر : 75 × 75
7 + 1 = 8
7 × 8 = 56
الجواب : 5625
__________________
1- توظيف المتطابقات في الحساب الذهني
( ب - حـ ) (ب + حـ ) = ب2 – حـ2
جداء عددين الفرق بينهما عدد صحيح صغير في البدايه ثم نعمم
39×41=(40-1)(40+1)=1600-1=1599
45×55=(50-5)(50+5)=2500-25=2475
يجب أن يكون مركز [ب ،حـ] أحاده = } 0 أو 5 { لسهوله التربيع
اذا كان أحاده = 5 نتبع التالي لايجاد مربعه
------------------------------------------------------------------------
2- جداء عدد مؤلف من رقمين بـ ( 11 )
نجمع الأحاد والعشرات ونضعه بين الأحاد والعشرات اذاكانأصغر أو يساوي تسعه
مثال: 11× 15=165 حيث 6=5+1 ، 11×34=374 حيث 7=4+3
واذا كان حاصل جمع الآحاد والعشرات أكبرتماما من تسعه فإننا نضع الأحاد
الجديد بين الأحاد والعشرات ونجمع العشرات الجديد للعشرات القديم
مثال: 11× 37=407 حيث 7+3=10 تم وضع الصفر بينهما وجمع 1 إلى 3=4
مثال: 11×86=946 وهكذا
------------------------------------------------------------------
3- جداء عددين مؤلفين من رقمين يحققان
أ) مجموع رقمي الآحاد=10
ب) رقمي العشرات في العددين متساوي
القاعدة نضرب الأحاد بالآحادونضع بجانبه حاصل ضرب العشرات بالعددالتالي
مثال: 23×27=621 ، حيث3×7=21 و2×3=6
مثال : 45×45=2025، حيث 5×5=25 و4×5=30
63×67=(65-2)(65+2)=3025-4=3021
التحية للجميع
__________________
المبدأ العام هو أن نحول العمليه إلى عملية أبسط
( ضرب أو تقسيم بمضاعف العشرة )
1) لضرب عدد بـ 5 اقسم العدد على 2واضرب الناتج بـ 10
125×5= (125÷2)×10=62.5×10=625
1258×5 = (1258÷2)×10 = 629×10=6290
---------------------------------------------------------------
2) لضرب عدد بـ 25 اقسم العدد على 4 واضرب الناتج بـ 100
32 × 25 = (32 ÷ 4) × 100 = 800
1225×25 =(1225÷ 4)× 100 = 306.25 × 100 = 30625
-----------------------------------------------------------------
3) لضرب عدد بـ 125 اقسم العدد على 8 واضرب الناتج بـ 1000
16 × 125 = (16÷×1000=2×1000=2000
123×125=(123÷×1000=15.725×1000=15725
--------------------------------------------------------------
4) لضرب عدد بـآخر ربما تكون أقدم الطرق وهي توزيع أحدهما على الأخر
وهي تحليل احدهما إلى عشرة أو مضاعفاتها
32×15 =32×(10+5)=320+160=480
153×17=153×(20 - 3) = 3060 - 459 = 2501
هذا هو المبدأ العام ويمكن أن تستنتج ما يخطر على بالك
و
__________________
: تربيع عدد من خانتين منته بـ: 1
لاحظ أن العدد الذي آحاده 1 يكون العدد الذي يسبقه آحاده صفر
مثال : 41 × 41
نأخذ العدد الذي يسبقه : 40
نربّعه : 40 × 40 = 1600
نجمع العددان : المراد تربيعه و الذي يسبقه : 40 + 41 = 81
الجواب : 1600 + 81 = 1681
مثال: 21 × 21
20 × 20 = 400
20 + 21 = 41
الجواب : 441
طريقة أخرى : 31 × 31
ربّع العدد الذي يسبقه : 30 × 30 = 900
2 × (العدد السابق) + 1 = 2(30 ) + 1 = 61
الجواب : 900 + 61 = 961
هذه الطريقة تعتمد على القاعدة :
( أ + 1 )^2 = أ^2 + 2أ + 1
31 ^2 = ( 30 + 1 )^2 = 30^2 + 2 ( 30 ) + 1 =900 + 61 =961
__________________
سأبدأ بطريقة تربيع الأعداد من خانتين و المنتهية بـ : 5
مثلا : 35 × 35
خذ العدد الذي على يسار الـ:5 (و هو 3 في هذا المثال) و زده 1 :
3 + 1 = 4
الآن اضربه بالناتج : 3 × 4 = 12
ضع 25 على يمين الـ: 12 فيصبح المطلوب : 1225
------------------------------------------------------
طبعا الشرط ان يكون رقم آحاده ( 5 )
35 × 35 = الاحاد فى الاحاد ثم العشرات فى العدد الذى يليه
=1225
45× 45 = ( 5× 5)بجوارها ( 4× 5)
= 25 20
__________________
35 × 35 = الاحاد فى الاحاد ثم العشرات فى العدد الذى يليه
=1225
شكرا على هذه الملاحظة الذكية ، و اسمح لي أن أعدّل عليها لتصبح :
25 ثم العشرات في العدد الذي يليه :
95 × 95 = 25 بجوارها( 9×10 ) = 9025
__________________
تربيع عدد من خانتين آحاده = 9
لاحظ أن أي عدد آحاده = 9 ، يكون العدد الذي يليه آحاده صفر
مثال : 39 ، الذي يليه : 40
الآن : 39 × 39
ربّع العدد الذي يليه : 40 × 40 = 1600
اجمع العدد مع العدد الذي يليه = 39 + 40 = 79
اطرح : 1600 - 79 = 1521
مثال آخر : 49 × 49
50 × 50 = 2500
49 + 50 = 99
2500 - 99 = 2401
طريقة أخرى : 49 × 49
ربّع العدد الذي يليه : 50 ×50 = 2500
ضعف العدد الذي يليه - 1 = 2(50) -1 = 99
2500 - 99 = 2401
هذه الطريقة معتمدة على القاعدة التي تقول :
كمثال : 19 ^2 = ( 20 - 1 )^2 = 20^2 - 2(20) +1
و للحديث تتمة .......
________________
- توظيف المتطابقات في الحساب الذهني
( ب - حـ ) (ب + حـ ) = ب2 – حـ2
جداء عددين الفرق بينهما عدد صحيح صغير في البدايه ثم نعمم
39×41=(40-1)(40+1)=1600-1=1599
ضرب عددين الفرق بينهما 2 : 19 × 21
نأخذ العدد الذي بينهما ( المعدل أو التوسط الحسابي) : 20
نربعه : 20 × 20 = 400
نطرح منه 1 : 400 - 1 = 399 الجواب .
مثال آخر : 15 × 17
16 × 16 = 256
256 - 1 = 255 الجواب.
ملحوظة
على كل مهتم بالحساب ان يعرف عن ظهر قلب تربيع الأعداد التالية :
11 ^ 2 = 121
12 ^2 = 144
13 ^ 2 = 169
14 ^ 2 = 196
15 ^ 2 = 225
16 ^ 2 = 256
25 ^ 2 = 625
قابلية القسمة على بعض الأعداد
1) قابلية القسمة على 2
يقبل عدد ما القسمة على 2 إذا كان آحاده صفر أو عدداً زوجياً
2) قابلية القسمة على 3
يقبل عدد ما القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3
3) قابلية القسمة على 4
يقبل عدد ما القسمة على 4 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 4 و 00
4) قابلية القسمة على 5
يقبل عدد ما القسمة على 5 إذا كان آحاده ( 0 أو 5 )
5) قابلية القسمة على 6
يقبل عدد ما القسمة على 6 إذا كان يقبل القسمة على ( 2 و 3 معا )
6) قابلية القسمة على 9
يقبل عدد ما القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9
7) قابلية القسمة على 10
يقبل عدد ما القسمة على 10 إذا كان آحاده صفر
قابلية القسمة على 11
يقبل عدد ما القسمة على 11 إذا كان
الفرق بين مجموع المنازل الفردية ومجموع المنازل الزوجية ( 0 أو يقبل القسمة على 11 )
9) قابلية القسمة على جداء ( ضرب ) عددين أوليين فيما بينهما
يقبل عدد ما القسمة على ب × حـ إذا كان يقبل القسمة على كل منهما وكان ب ، حـ أوليين فيما بينهما
24 يقبل القسمة على 2 , 3 ـ 24 يقبل القسمة على 6
45 يقبل القسمة على 5 , 3 ـ 45 يقبل القسمة على 15
وهكذا نستطيع إيجاد قابلية القسمة على أعداد أخرى باتباع القاعدة السابقة
ملاحظة 36 يقبل القسمة على 2 , 4
وهذا لايعني ولا يمكن أن نستنتج أن 36 يقبل القسمة على 8 لأن 2 ،4 غير أوليين فيما بينهما
10) قابلية القسمة على 25
يقبل عدد ما القسمة على 25 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 25 أو 00
11) قابلية القسمة على 1001 وأيضا 7 ، 11 ، 13
أي عدد مكون من ستة منازل (مراتب آحاد عشرات . . . ) إذا تكررت الأرقام الثلاث بالتتالي
كان يقبل القسمة على 1001
وهو أيضا يقبل القسم على كل من الأعداد الأولية 7 ، 11 ، 13 لأن 1001 = 7 × 11 × 13
مثاله ( 123123 ) و ( 469469 ) و ( 775775 ) تقبل القسمة على (7 ، 11 ، 13 )وعلى جداء
أي أثنين منها فهي تقبل القسمة على 77 ، 143 ، 91 . . .
الحساب الذهني بعض قواعده
المبدأ رد العملية إلى عملية أبسط منها باستخدام بعض الخواص
1) تقسيم عدد على 5
س ÷ 5 = س ÷ ( 10 / 2 ) = ( س × 2 ) / 10
أي لتقسيم عدد ما على 5 نضرب العدد بـ 2 ونقسم الناتج على 10
423 / 5 = 2 ×423 / 10 = 84.6
2) تقسيم عدد على 25
س / 25 = س / ( 100 / 4 ) = ( 4 × س ) / 100
لتقسيم عدد على 25 نضرب العدد بـ 4 ونقسم الناتج على 100
1265 / 25 = 4 × 1265 / 100 = 50.6
ملاحظه لتقسيم عدد على 2.5 اضرب العدد بـ 4 وقسم الناتج على 10
54 / 2.5 = 4 × 54 / 10 = 21.6 وهكذا
3) تقسيم عدد على 125
س / 125 = س / ( 1000 / 8 ) = ( 8 × س ) / 1000
لتقسيم عدد على 125 نضرب العدد بـ 8 ونقسم على 1000
4235 / 125 = 8 × 4235 / 1000 = 33.88
465 / 125 = 8 × 465 / 1000 = 3.72
ملاحظه لتقسيم عدد على 12.5 نضرب العدد بـ 8 ونقسم على 100
142 / 12.5 = 8 × 142 / 100 = 11.36
ملاحظه لتقسيم عدد على 1.25 نضرب العدد بـ 8 ونقسم الناتج على 10
45 / 1.25 = 8 × 45 / 10 = 36
عملية الضرب هي العملية المعاكسة للقسمة
4) ضرب عدد بـ 25
س × 25 = س × ( 100 / 4 ) = ( س / 4 ) × 100
لضرب عدد بـ 25 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 100
182 × 25 = (182 / 4 ) × 100 = 4550
ملاحظه : لضرب عدد بـ 2.5 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 10
65 × 2.5 = (65 / 4 ) × 10 = 162.5
ملاحضه : لضرب عدد 0.25 اقسم العدد على 4 فقط
456 × 0.25 = 456 / 4 = 114
5) ضرب عدد مؤلف من رقمين بـ 11
نجمع الأحاد والعشرات للعدد ونضعه بين الأحاد والعشرات اذاكان مجموعهما أصغر أو يساوي تسعه
مثال: 11× 15=165 حيث 6=5+1 ، 11×34=374 حيث 7=4+3
واذا كان حاصل جمع الآحاد والعشرات أكبر تماما من تسعه فإننا نضع الأحاد
الجديد بين الأحاد والعشرات ونجمع العشرات الجديد للعشرات القديم
مثال: 11× 37=407 حيث 7+3=10 تم وضع الصفر بينهما وجمع 1 إلى رقم العشرات 3 فأصبح 4
مثال: 11×86=946 وهكذا
ملاحظة : إذا كان العدد مؤلف من أكثر من رقمين ويراد ضربه بـ 11 نتبع
نضع رقم الآحاد كما هو ثم نجمع رقم الآحاد إلى العشرات ونضع آحاد الناتج ونضيف الباقي للمنزلة
التالية ونكرر كما فعلنا عندما كان مجموع رقمي العدد أكبرمن 9
567 × 11 = 6237
حيث تم وضع الآحاد 7 ثم تم (7+6)=13 ووضع آحاد الناتج عشرات وأضيف 1 إلى التالي ونكرر ما فعلناه
6) جداء عددين مؤلفين من رقمين يحققان
أ) مجموع رقمي الآحاد =10
ب) رقمي العشرات في العددين متساوي
القاعدة نضرب الأحاد بالآحاد ونضع بجانبه حاصل ضرب العشرات بالعددالتالي له
مثال: 23 × 27 = 621 ، حيث 3 × 7 = 21 و 2 × 3 = 6
مثال: 72 × 78 = 5616 حيث 2 × 8 = 16 و 7 × 8 = 56
وحالة خاصة منه تربيع عدد مؤلف من رقمين وآحاده = 5
75 × 75 = 5625 وكذلك 45 × 45 = 2025
7) توظيف بعض المطابقات في الحساب الذهني
أ) ب2 - حـ2 = ( ب - حـ ) ( ب + حـ )
جداء عددين الفرق بينهما عدد صحيح صغير في البدايه ثم نعمم
39 × 41 = ( 40 - 1 ) ( 40 + 1 ) = 1600 - 1 = 1599
73 × 67 = ( 70 + 3 ) ( 70 - 3 ) = 4900 - 9 = 4891
ب) ( ب ± حـ )2 = ب2 ± 2 ب حـ + حـ2
وتستخدم لإيجاد مربع عدد بحيث يكون العدد القريب منه يمكن حساب مربعه بسهولة
41^2 = ( 40 + 1 ) 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
48^2 = ( 50 - 2 ) 2 = 2500 - 200 + 1 = 2301
لضرب عدد بـآخر ربما تكون أقدم الطرق وهي توزيع أحدهما على الأخر
وهي تحليل احدهما إلى عشرة أو مضاعفاتها
32×15 =32×(10+5)=320+160=480
153×17=153×(20 - 3) = 3060 - 459 = 2501
هذا ويمكن لك أن تستنتج وتستنبط قواعد أخرى على نفس المنوال
______________
ضرب عدد بـ : 15
مثال : 64 × 15
زد نصف العدد على نفسه و اضرب الناتج بـ : 10
64 + 32 = 96
96 × 10 = 960
كيف تعمل :
لاحظ أن 15 = 1،5 × 10
فإذا ضربت عددا ما و ليكن جـ بـ : 15
15 × جـ فأنت فعليا تضربه بـ:
( 1،5 × جـ ) × 10 = ( جـ + 0،5 جـ) × 10
أمثلة أخرى :
73 × 15 = ( 73 + 36،5 ) × 10 = 109،5 × 10 = 1095
48 × 15 = ( 48 + 24 ) × 10 = 72 × 10 = 720
و للحديث تتمة ............
________________
ضرب عدد بـ : 101
مثال : 64 × 101
الاختصار : نكتب العدد مكررا :
64 × 101 = 6464
كيف تعمل :
64 × 101 = 64 ×(100 + 1 ) = 64 × 100 + 64 =6400 + 64 =6464
أمثلة :
76 × 101 = 7676
93 × 101 = 9393
ارجو ان تكون قد أعجبتكم
سأقوم بوضع طرق مختصرة للحساب الذهني كل يوم موضوع.
رجائي لمن عنده فكرة أن يضعها هنا 0
و تمني أيضا على كل من ينتفع بهذه الطرق و ينفع بها الآخرين أن يدعوا لي بالخير .
سأبدأ بطريقة تربيع الأعداد من خانتين و المنتهية بـ : 5
مثلا : 35 × 35
خذ العدد الذي على يسار الـ:5 (و هو 3 في هذا المثال) و زده 1 :
3 + 1 = 4
الآن اضربه بالناتج : 3 × 4 = 12
ضع 25 على يمين الـ: 12 فيصبح المطلوب : 1225
مثال آخر : 75 × 75
7 + 1 = 8
7 × 8 = 56
الجواب : 5625
__________________
1- توظيف المتطابقات في الحساب الذهني
( ب - حـ ) (ب + حـ ) = ب2 – حـ2
جداء عددين الفرق بينهما عدد صحيح صغير في البدايه ثم نعمم
39×41=(40-1)(40+1)=1600-1=1599
45×55=(50-5)(50+5)=2500-25=2475
يجب أن يكون مركز [ب ،حـ] أحاده = } 0 أو 5 { لسهوله التربيع
اذا كان أحاده = 5 نتبع التالي لايجاد مربعه
------------------------------------------------------------------------
2- جداء عدد مؤلف من رقمين بـ ( 11 )
نجمع الأحاد والعشرات ونضعه بين الأحاد والعشرات اذاكانأصغر أو يساوي تسعه
مثال: 11× 15=165 حيث 6=5+1 ، 11×34=374 حيث 7=4+3
واذا كان حاصل جمع الآحاد والعشرات أكبرتماما من تسعه فإننا نضع الأحاد
الجديد بين الأحاد والعشرات ونجمع العشرات الجديد للعشرات القديم
مثال: 11× 37=407 حيث 7+3=10 تم وضع الصفر بينهما وجمع 1 إلى 3=4
مثال: 11×86=946 وهكذا
------------------------------------------------------------------
3- جداء عددين مؤلفين من رقمين يحققان
أ) مجموع رقمي الآحاد=10
ب) رقمي العشرات في العددين متساوي
القاعدة نضرب الأحاد بالآحادونضع بجانبه حاصل ضرب العشرات بالعددالتالي
مثال: 23×27=621 ، حيث3×7=21 و2×3=6
مثال : 45×45=2025، حيث 5×5=25 و4×5=30
63×67=(65-2)(65+2)=3025-4=3021
التحية للجميع
__________________
المبدأ العام هو أن نحول العمليه إلى عملية أبسط
( ضرب أو تقسيم بمضاعف العشرة )
1) لضرب عدد بـ 5 اقسم العدد على 2واضرب الناتج بـ 10
125×5= (125÷2)×10=62.5×10=625
1258×5 = (1258÷2)×10 = 629×10=6290
---------------------------------------------------------------
2) لضرب عدد بـ 25 اقسم العدد على 4 واضرب الناتج بـ 100
32 × 25 = (32 ÷ 4) × 100 = 800
1225×25 =(1225÷ 4)× 100 = 306.25 × 100 = 30625
-----------------------------------------------------------------
3) لضرب عدد بـ 125 اقسم العدد على 8 واضرب الناتج بـ 1000
16 × 125 = (16÷×1000=2×1000=2000
123×125=(123÷×1000=15.725×1000=15725
--------------------------------------------------------------
4) لضرب عدد بـآخر ربما تكون أقدم الطرق وهي توزيع أحدهما على الأخر
وهي تحليل احدهما إلى عشرة أو مضاعفاتها
32×15 =32×(10+5)=320+160=480
153×17=153×(20 - 3) = 3060 - 459 = 2501
هذا هو المبدأ العام ويمكن أن تستنتج ما يخطر على بالك
و
__________________
: تربيع عدد من خانتين منته بـ: 1
لاحظ أن العدد الذي آحاده 1 يكون العدد الذي يسبقه آحاده صفر
مثال : 41 × 41
نأخذ العدد الذي يسبقه : 40
نربّعه : 40 × 40 = 1600
نجمع العددان : المراد تربيعه و الذي يسبقه : 40 + 41 = 81
الجواب : 1600 + 81 = 1681
مثال: 21 × 21
20 × 20 = 400
20 + 21 = 41
الجواب : 441
طريقة أخرى : 31 × 31
ربّع العدد الذي يسبقه : 30 × 30 = 900
2 × (العدد السابق) + 1 = 2(30 ) + 1 = 61
الجواب : 900 + 61 = 961
هذه الطريقة تعتمد على القاعدة :
( أ + 1 )^2 = أ^2 + 2أ + 1
31 ^2 = ( 30 + 1 )^2 = 30^2 + 2 ( 30 ) + 1 =900 + 61 =961
__________________
سأبدأ بطريقة تربيع الأعداد من خانتين و المنتهية بـ : 5
مثلا : 35 × 35
خذ العدد الذي على يسار الـ:5 (و هو 3 في هذا المثال) و زده 1 :
3 + 1 = 4
الآن اضربه بالناتج : 3 × 4 = 12
ضع 25 على يمين الـ: 12 فيصبح المطلوب : 1225
------------------------------------------------------
طبعا الشرط ان يكون رقم آحاده ( 5 )
35 × 35 = الاحاد فى الاحاد ثم العشرات فى العدد الذى يليه
=1225
45× 45 = ( 5× 5)بجوارها ( 4× 5)
= 25 20
__________________
35 × 35 = الاحاد فى الاحاد ثم العشرات فى العدد الذى يليه
=1225
شكرا على هذه الملاحظة الذكية ، و اسمح لي أن أعدّل عليها لتصبح :
25 ثم العشرات في العدد الذي يليه :
95 × 95 = 25 بجوارها( 9×10 ) = 9025
__________________
تربيع عدد من خانتين آحاده = 9
لاحظ أن أي عدد آحاده = 9 ، يكون العدد الذي يليه آحاده صفر
مثال : 39 ، الذي يليه : 40
الآن : 39 × 39
ربّع العدد الذي يليه : 40 × 40 = 1600
اجمع العدد مع العدد الذي يليه = 39 + 40 = 79
اطرح : 1600 - 79 = 1521
مثال آخر : 49 × 49
50 × 50 = 2500
49 + 50 = 99
2500 - 99 = 2401
طريقة أخرى : 49 × 49
ربّع العدد الذي يليه : 50 ×50 = 2500
ضعف العدد الذي يليه - 1 = 2(50) -1 = 99
2500 - 99 = 2401
هذه الطريقة معتمدة على القاعدة التي تقول :
كمثال : 19 ^2 = ( 20 - 1 )^2 = 20^2 - 2(20) +1
و للحديث تتمة .......
________________
- توظيف المتطابقات في الحساب الذهني
( ب - حـ ) (ب + حـ ) = ب2 – حـ2
جداء عددين الفرق بينهما عدد صحيح صغير في البدايه ثم نعمم
39×41=(40-1)(40+1)=1600-1=1599
ضرب عددين الفرق بينهما 2 : 19 × 21
نأخذ العدد الذي بينهما ( المعدل أو التوسط الحسابي) : 20
نربعه : 20 × 20 = 400
نطرح منه 1 : 400 - 1 = 399 الجواب .
مثال آخر : 15 × 17
16 × 16 = 256
256 - 1 = 255 الجواب.
ملحوظة
على كل مهتم بالحساب ان يعرف عن ظهر قلب تربيع الأعداد التالية :
11 ^ 2 = 121
12 ^2 = 144
13 ^ 2 = 169
14 ^ 2 = 196
15 ^ 2 = 225
16 ^ 2 = 256
25 ^ 2 = 625
قابلية القسمة على بعض الأعداد
1) قابلية القسمة على 2
يقبل عدد ما القسمة على 2 إذا كان آحاده صفر أو عدداً زوجياً
2) قابلية القسمة على 3
يقبل عدد ما القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3
3) قابلية القسمة على 4
يقبل عدد ما القسمة على 4 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 4 و 00
4) قابلية القسمة على 5
يقبل عدد ما القسمة على 5 إذا كان آحاده ( 0 أو 5 )
5) قابلية القسمة على 6
يقبل عدد ما القسمة على 6 إذا كان يقبل القسمة على ( 2 و 3 معا )
6) قابلية القسمة على 9
يقبل عدد ما القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9
7) قابلية القسمة على 10
يقبل عدد ما القسمة على 10 إذا كان آحاده صفر
قابلية القسمة على 11
يقبل عدد ما القسمة على 11 إذا كان
الفرق بين مجموع المنازل الفردية ومجموع المنازل الزوجية ( 0 أو يقبل القسمة على 11 )
9) قابلية القسمة على جداء ( ضرب ) عددين أوليين فيما بينهما
يقبل عدد ما القسمة على ب × حـ إذا كان يقبل القسمة على كل منهما وكان ب ، حـ أوليين فيما بينهما
24 يقبل القسمة على 2 , 3 ـ 24 يقبل القسمة على 6
45 يقبل القسمة على 5 , 3 ـ 45 يقبل القسمة على 15
وهكذا نستطيع إيجاد قابلية القسمة على أعداد أخرى باتباع القاعدة السابقة
ملاحظة 36 يقبل القسمة على 2 , 4
وهذا لايعني ولا يمكن أن نستنتج أن 36 يقبل القسمة على 8 لأن 2 ،4 غير أوليين فيما بينهما
10) قابلية القسمة على 25
يقبل عدد ما القسمة على 25 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 25 أو 00
11) قابلية القسمة على 1001 وأيضا 7 ، 11 ، 13
أي عدد مكون من ستة منازل (مراتب آحاد عشرات . . . ) إذا تكررت الأرقام الثلاث بالتتالي
كان يقبل القسمة على 1001
وهو أيضا يقبل القسم على كل من الأعداد الأولية 7 ، 11 ، 13 لأن 1001 = 7 × 11 × 13
مثاله ( 123123 ) و ( 469469 ) و ( 775775 ) تقبل القسمة على (7 ، 11 ، 13 )وعلى جداء
أي أثنين منها فهي تقبل القسمة على 77 ، 143 ، 91 . . .
الحساب الذهني بعض قواعده
المبدأ رد العملية إلى عملية أبسط منها باستخدام بعض الخواص
1) تقسيم عدد على 5
س ÷ 5 = س ÷ ( 10 / 2 ) = ( س × 2 ) / 10
أي لتقسيم عدد ما على 5 نضرب العدد بـ 2 ونقسم الناتج على 10
423 / 5 = 2 ×423 / 10 = 84.6
2) تقسيم عدد على 25
س / 25 = س / ( 100 / 4 ) = ( 4 × س ) / 100
لتقسيم عدد على 25 نضرب العدد بـ 4 ونقسم الناتج على 100
1265 / 25 = 4 × 1265 / 100 = 50.6
ملاحظه لتقسيم عدد على 2.5 اضرب العدد بـ 4 وقسم الناتج على 10
54 / 2.5 = 4 × 54 / 10 = 21.6 وهكذا
3) تقسيم عدد على 125
س / 125 = س / ( 1000 / 8 ) = ( 8 × س ) / 1000
لتقسيم عدد على 125 نضرب العدد بـ 8 ونقسم على 1000
4235 / 125 = 8 × 4235 / 1000 = 33.88
465 / 125 = 8 × 465 / 1000 = 3.72
ملاحظه لتقسيم عدد على 12.5 نضرب العدد بـ 8 ونقسم على 100
142 / 12.5 = 8 × 142 / 100 = 11.36
ملاحظه لتقسيم عدد على 1.25 نضرب العدد بـ 8 ونقسم الناتج على 10
45 / 1.25 = 8 × 45 / 10 = 36
عملية الضرب هي العملية المعاكسة للقسمة
4) ضرب عدد بـ 25
س × 25 = س × ( 100 / 4 ) = ( س / 4 ) × 100
لضرب عدد بـ 25 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 100
182 × 25 = (182 / 4 ) × 100 = 4550
ملاحظه : لضرب عدد بـ 2.5 نقسم العدد على 4 ونضرب الناتج بـ 10
65 × 2.5 = (65 / 4 ) × 10 = 162.5
ملاحضه : لضرب عدد 0.25 اقسم العدد على 4 فقط
456 × 0.25 = 456 / 4 = 114
5) ضرب عدد مؤلف من رقمين بـ 11
نجمع الأحاد والعشرات للعدد ونضعه بين الأحاد والعشرات اذاكان مجموعهما أصغر أو يساوي تسعه
مثال: 11× 15=165 حيث 6=5+1 ، 11×34=374 حيث 7=4+3
واذا كان حاصل جمع الآحاد والعشرات أكبر تماما من تسعه فإننا نضع الأحاد
الجديد بين الأحاد والعشرات ونجمع العشرات الجديد للعشرات القديم
مثال: 11× 37=407 حيث 7+3=10 تم وضع الصفر بينهما وجمع 1 إلى رقم العشرات 3 فأصبح 4
مثال: 11×86=946 وهكذا
ملاحظة : إذا كان العدد مؤلف من أكثر من رقمين ويراد ضربه بـ 11 نتبع
نضع رقم الآحاد كما هو ثم نجمع رقم الآحاد إلى العشرات ونضع آحاد الناتج ونضيف الباقي للمنزلة
التالية ونكرر كما فعلنا عندما كان مجموع رقمي العدد أكبرمن 9
567 × 11 = 6237
حيث تم وضع الآحاد 7 ثم تم (7+6)=13 ووضع آحاد الناتج عشرات وأضيف 1 إلى التالي ونكرر ما فعلناه
6) جداء عددين مؤلفين من رقمين يحققان
أ) مجموع رقمي الآحاد =10
ب) رقمي العشرات في العددين متساوي
القاعدة نضرب الأحاد بالآحاد ونضع بجانبه حاصل ضرب العشرات بالعددالتالي له
مثال: 23 × 27 = 621 ، حيث 3 × 7 = 21 و 2 × 3 = 6
مثال: 72 × 78 = 5616 حيث 2 × 8 = 16 و 7 × 8 = 56
وحالة خاصة منه تربيع عدد مؤلف من رقمين وآحاده = 5
75 × 75 = 5625 وكذلك 45 × 45 = 2025
7) توظيف بعض المطابقات في الحساب الذهني
أ) ب2 - حـ2 = ( ب - حـ ) ( ب + حـ )
جداء عددين الفرق بينهما عدد صحيح صغير في البدايه ثم نعمم
39 × 41 = ( 40 - 1 ) ( 40 + 1 ) = 1600 - 1 = 1599
73 × 67 = ( 70 + 3 ) ( 70 - 3 ) = 4900 - 9 = 4891
ب) ( ب ± حـ )2 = ب2 ± 2 ب حـ + حـ2
وتستخدم لإيجاد مربع عدد بحيث يكون العدد القريب منه يمكن حساب مربعه بسهولة
41^2 = ( 40 + 1 ) 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
48^2 = ( 50 - 2 ) 2 = 2500 - 200 + 1 = 2301
لضرب عدد بـآخر ربما تكون أقدم الطرق وهي توزيع أحدهما على الأخر
وهي تحليل احدهما إلى عشرة أو مضاعفاتها
32×15 =32×(10+5)=320+160=480
153×17=153×(20 - 3) = 3060 - 459 = 2501
هذا ويمكن لك أن تستنتج وتستنبط قواعد أخرى على نفس المنوال
______________
ضرب عدد بـ : 15
مثال : 64 × 15
زد نصف العدد على نفسه و اضرب الناتج بـ : 10
64 + 32 = 96
96 × 10 = 960
كيف تعمل :
لاحظ أن 15 = 1،5 × 10
فإذا ضربت عددا ما و ليكن جـ بـ : 15
15 × جـ فأنت فعليا تضربه بـ:
( 1،5 × جـ ) × 10 = ( جـ + 0،5 جـ) × 10
أمثلة أخرى :
73 × 15 = ( 73 + 36،5 ) × 10 = 109،5 × 10 = 1095
48 × 15 = ( 48 + 24 ) × 10 = 72 × 10 = 720
و للحديث تتمة ............
________________
ضرب عدد بـ : 101
مثال : 64 × 101
الاختصار : نكتب العدد مكررا :
64 × 101 = 6464
كيف تعمل :
64 × 101 = 64 ×(100 + 1 ) = 64 × 100 + 64 =6400 + 64 =6464
أمثلة :
76 × 101 = 7676
93 × 101 = 9393
ارجو ان تكون قد أعجبتكم